Mathematische Modelle in der Medizinischen Informatik und in den Computational Life Sciences mit Computerlösungen in Mathematica

1 Elementare Funktionen, Einführung in Mathematica

1.1 Grafische Darstellung und erste Berechnungen mit Mathematica

1.2 Quadratische Funktionen und Mathematica

1.3 Potenzfunktionen

1.4 Exponential - und Logarithmusfunktionen

1.5 Winkelfunktionen

1.6 Hyperbolische Winkelfunktionen

1.7 Komplexe Zahlen

1.8 Polynome und rationale Funktionen

1.9 Wiederholung zur Differential- und Integralrechnung

1.10 Kurvendiskussion mit Mathematica

1.11 Exponentialfunktion und Winkelfunktionen mit komplexen Argumenten

2 Modellierung durch Differentialgleichungen und dynamische Systeme

2.1 Einführung

2.2 Abstrakte Definition dynamischer Systeme

2.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen

3 Wachstumsmodelle in Medizin, Biologie und Biochemie, Dynamik einer von der Zeit abhängigen Population

3.1 Exponentielles Wachstum als Differentialgleichungsmodell und geometrisches Wachstum als diskretes Analogon

3.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer autonomen Differentialgleichung

3.3 Wachstum mit Sättigung: Verhulstgleichung und logistisches Wachstum

3.4 Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome

3.5 Gleichgewichtspunkte der Verhulstgleichung

3.6 Massenwirkungsgesetz als Differentialgleichungsmodell

3.7 Die Verhulstgleichung unter Einwirkung einer Räuberpopulation: Hystereseeigenschaften der Lösungen, Stabilität in Abhängigkeit von Parametern

3.8 Unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie der Enzymkinetik, singuläre Störungstheorie

3.9 Diffusion durch Zufallsbewegungen

3.10 Ergänzung durch einen Diffusionsterm: Wellenansatz; Veränderung des Stabilitätsverhaltens durch räumliche Wirkungsausbreitung

3.11 Verhulstgleichung mit Verzögerung, Abhängigkeiten der Dämpfung und Oszillation der Lösungen von der Verzögerungszeit und Verzweigungspunkte für Lösungen

3.12 Diskretes logistisches Modell: Periodenverdopplung und Feigenbaumkonstante

3.13 Weitere Modelle zu einer abhängigen Population: Bertalanffy-, Gompertz-Gleichung, hyperbolisches, parabolisches und Michaelis-Menten-Wachstum

3.14 Fibonacci-Folgen

3.15 Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung, Fourierreihen

4 Funktionalgleichungsmodelle

5 Lineare Gleichungssysteme, Vektorräume und Zusammenhänge zwischen algebraischen und analytischen Modellen

5.1 Einführung

5.2 Matrizen

5.3 Determinanten

5.4 Inverse Matrizen

5.5 Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme

5.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

5.7 Anwendung in der Populationsgenetik

5.8 Vektorräume und lineare Abbildungen

5.9 Struktur der Lösung linearer Gleichungssysteme

5.10 Einführung in Zusammenhänge zwischen algebraischen und analytischen Modellen

5.11 Transformationsformeln für Gebietsintegrale und Differentiale als Basiselemente von Graßmann-Algebren

6 Populationen mit Wechselwirkung. Eigenschaften und Anwendungen dynamischer Systeme in Biologie und Medizin

6.1 Das Lotka - Volterra - System als Räuber-Beute-Modell

6.2 Konkurrenz und Symbiose, das Volterrasche Exklusionsprinzip

6.3 Gleichgewichtspunkte und Stabilität. Linearisierung als Grundprinzip

6.4 Ein Räuber-Beute-Modell mit Grenzzyklus

6.5 Reaktionskinetik eines Systems, das durch das Massenwirkungsgesetz beschrieben wird: Brüsselator

6.6 Reversible Reihenschaltung in der Physiologie

6.7 Das "pharmakokinetische Grundmodell": physiologische Wechselwirkungen von Muskeln, Blut, Niere und Leber

6.8 Das SIR-Modell zur Ausbreitung von Infektionskrankheiten

6.9 Ein SIS - Mehrkompartmentmodell und dessen Stabilitätsverhalten

7 Rückkopplungssysteme, Bifurkationseigenschaften und weitere Strukturelemente biomathematischer Modelle

7.1 Periodische Impulse und Impulsverstärkung in der Hodgkin-Huxley-Theorie der Nervenmembranen

7.2 Enzym, mRNA und Reaktionsprodukt im Goodwin-Modell als Beispiel eines Rückkopplungssystems

7.3 Hysterese, Pilzköpfe und Inseln: Anzahl und Stabilität von Gleichgewichtspunkten in Abhängigkeit eines Parameters

7.4 Parameterabhängige Gleichgewichtspunkte: Bifurkationstheorie

7.5 Dynamische Krankheiten in der Physiologie

7.6 Ljapunov-Funktionen und global stabile Gleichgewichtslösungen

7.7 "Schwarze Löcher" in biologischen Systemen, der Sekundenherztod

7.8 Van der Polsche Gleichung: Existenz und Eindeutigkeit eines Grenzzyklusses

8 Grenzmengen und Attraktoren, strukturelle Stabilität

8.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

8.2 Nichtlineare autonome Differentialgleichungen

8.3 Grenzmengen und Attraktoren

8.4 Strukturelle Stabilität

8.5 Zweidimensionale dynamische Systeme

8.6 Lorenz-Attraktor und Rössler-Modell

8.7 Einführung in die Thomsche Katastrophentheorie

9 Fraktale

9.1 Von den "Monsterkurven der Analysis" zu den Fraktalen

9.2 Juliamengen und Mandelbrotmenge

9.3 Komplexe Cantorsche Mengen